A. Tentang Peluang dan peristiwa
Ada tiga lingkungan dalam proses pengambilan keputusan yang telah dijadikan dalil yakni pasti, ketidakpastian dan risiko. Risiko adalah suatu keadaan dimana nilai-nilai peluang dapat diberikan kepada setiap hasil atau peristiwa. Sampai seberapa jauh keputusan diambil dalam suatu risiko tergantung pada siapa yang akan mengambil keputusan tersebut apakah para pebisnis, industriawan atau tingkatan manajerial dalam suatu organisasi. Akan tetapi, meskipun keputusan semacam ini boleh dibilang langka namun tetap perlu menjadi bahan pertimbangan. Sebagai contoh industri asuransi tetap mempercayai nilai-nilai peluang yang diambil dari data aktuaria. Kesalahan yang dilakukan perusahaan ini dalam menggunakan nilai-nilai peluang untuk membuat keputusan bisa berakibat fatal bagi perusahaan tersebut. Dalam kasuslain, masalah yang dihadapi oleh para manajer dalam mengambil keputusan adalah bagaimana menggunakan nilai-nilai peluang dalam situasi yang sebenarnya dan bagaimana menarik kesimpulan dari hasil yang didasarkan pada
teori peluang.
Meskipun teori peluang sudah dikenal sejak abad 17 oleh para matematikawan, tetapi masih diragukan kapan teori ini berhubungan dengan statistika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, perkawinan antara matematika peluang dengan data yang dikumpulkan oleh negara-negara di berbagai penjuru dunia akhirnya melahirkan ilmu baru yaitu statistika.
Tidak dapat dipungkiri lagi berkembangnya teori peluang diawali oleh kesenangan orang untuk mengadu untung di meja judi. Lahirnya berbagai teori peluang yang dilandasi dari kesenangan ini telah banyak mempengaruhi perkembangan ilmu statistika itu sendiri. Seseorang tidaklah mungkin untuk memahami statistika secara sempurna tanpa memahami apa arti peluang itu sendiri. Olehkarena itu dapatlah dikatakan bahwa teori peluang adalah fondasi dari statistika.
Untuk memberikan gambaran tentang peluang yang dimaksud, bab ini hanya membahas dasar-dasar teori peluang sebagai dasar pengetahuan.
Tidak dapat dipungkiri lagi berkembangnya teori peluang diawali oleh kesenangan orang untuk mengadu untung di meja judi. Lahirnya berbagai teori peluang yang dilandasi dari kesenangan ini telah banyak mempengaruhi perkembangan ilmu statistika itu sendiri. Seseorang tidaklah mungkin untuk memahami statistika secara sempurna tanpa memahami apa arti peluang itu sendiri. Olehkarena itu dapatlah dikatakan bahwa teori peluang adalah fondasi dari statistika.
Untuk memberikan gambaran tentang peluang yang dimaksud, bab ini hanya membahas dasar-dasar teori peluang sebagai dasar pengetahuan.
B. Pengertian Peluang
Peluang semata-mata adalah suatu cara untuk menyatakan kesempatan terjadinya suatu peristiwa. Secara kualitatif peluang dapat dinyatakan dalam bentuk kata sifat untuk menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu keadaan seperti “baik”, “lemah”, “kuat”, “miskin”, “sedikit” dan lain sebagainya. Sec
ara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi.
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar perkiraan terjadinya hujan dalam bentuk peluang baik secara kualitatif seperti “kemungkinannya kecil akan terjadi hujan esok hari”, atau dalam bentuk kuantitatif seperti “kemungkinan hujan esok hari sekitar 30%”. Jelas di sini bahwa berbicara mengenai peluang kita dihadapkan dalam suatu kondisi yang tidak pasti, akan tetapi kita hanya diberikan suatu petunjuk atau gambaran seberapa besar keyakinan kita bahwa suatu peristiwa bisa terjadi. Semakin besar nilai peluang yang dihasilkan dari suatu perhitungan maka semakin besar keyakinan kita bahwa peristiwa itu akan terjadi. Dewasa ini, perkiraan tentang akan terjadinya suatu gejala alam bukanlah sesuatu pekerjaan sederhana akan tetapi telah melalui suatu proses perhitungan yang sangat kompleks. Gejala sebuah peristiwa tidak hanya dikaji dari satu sisi saja, misalnya pengaruh waktu, akan tetapi juga melibatkan banyak variabel yang terkait dengan peristiwa tersebut. Oleh karena itu peluang yang didasarkan pada latar belakang ilmiah bisa memberikan tingkat keyakinan yang lebih tinggi bagi orang yang memerlukannya.
Salah satu cara untuk menyatakan peluang dari suatu peristiwa adalah penggunaan diagram Venn seperti yang dilukiskan dalam gambar 1.
Meski konvensional, tetapi cara ini ternyata lebih mudah dipahami oleh masyarakat luas khususnya bagi orang-orang yang bukan berlatar belakang matematika. Diagram Venn berbentuk persegi panjang untuk menyatakan semua peristiwa yang bisa terjadi dan lingkaran untuk menggambarkan peluang terjadinya peristiwa tertentu. Pengambaran diagram umumnya tidak menggunakan skala yang sesungguhnya, artinya jika peluang terjadi peristiwa hujan 30% bukan berarti bahwa lingkaran yang dimaksud luasnya harus 30% dari luas persegi panjang.
B. Peristiwa
Dalam statistika, pengertian ini diperluas dengan memasukkan unsur-unsur kesempatan atau peluang atas terjadinya suatu peristiwa yang didasarkan pada hasil sebuah percobaan atau eksperimen yang dilakukan secara berulang-ulang. Sebagai contoh peristiwa terambilnya kartu As dari setumpuk kartu bridge, jumlah cairan yang disaring dari mesin pengisi, jumlah kendaraan niaga yang melalui jalan protokol, jumlah barang yang cacat dalam satu lot, dan karakteristik lainnya yang secara umum tidak dapat disebutkan sebagai
peristiwa.
Untuk keperluan penentuan peluang ada gunanya untuk membagi peristiwa ke dalam dua jenis peristiwa yakni peristiwa sederhana dan peristiwa majemuk. Peristiwa sederhana tidak dapat dibagi lebih lanjut lagi ke dalam komponen-komponen peristiwa, sedangkan peritiwa majemuk selalu memiliki dua atau lebih komponen peristiwa sederhana. Peristiwa “Kartu Sekop” secara definisi adalah peristiwa sederhana karena hanya ada satu jenis kartu sekop dalam setumpuk kartu bridge. Akan tetapi peristiwa “As Sekop” dapat dianggap sebagai peristiwa majemuk karena kartunya haruslah berisikan keduanya yakni kartu As dan kartu Sekop. Namun definisi ini tergantung dari pandangan sipelaku percobaan. Bisa saja seseorang mengatakan bahwa As Sekop sebagai suatu peristiwa sederhana jika dia mengganggap hal ini sebagai suatu kesatuan. Pembagian jenis peristiwa ini dimaksudkan untuk kemudahan dalam mempelajari teori peluang selanjutnya.
C. Penerapan Peluang
Teori peluang mungkin hanya biasa kita lihat, dengar, atau baca dalam mata pelajaran matematika. Namun, jika kita kaji lebih dalam lagi, penerapan teori peluang dapat kita temukan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari, bahkan dalam permainan yang biasanya kita mainkan. Sungguh menarik ketika kita menyadari bahwa permainan-permainan yang biasa kita mainakan terdapat teori peluang di dalamnya.
Salah satu penerapan teori peluang yang terdapat dalam kehidupan kita adalah dalam permainan poker. Di luar negeri, permainan ini biasa dimainkan dengan taruhan yang berupa uang atau batang lidi untuk menaikkan ketegangan permainan. Dalam permainan poker, terdapat komposisi kartu yang memiliki urutan tinggi dan rendah. Ternyata, hal tersebut dikarenakan tinggi atau rendahnya peluang munculnya komposisi kartu tersebut jika dibandingkan dengan komposisi kartu lainnya dalam permainan poker. Poker adalah permainan kartu yang usianya sudah cukup tua. Permainan itu mungkin telah berevolusi sehingga tercipta berbagai peraturan permainan poker. Bahkan, di Indonesia, dikenal sebuah permainan Cap-Sa, yang sebagian idenya mengambil dari permainan Poker. Bedanya, Cap-Sa tetap nikmat untuk dimainkan tanpa menggunakan taruhan.
Berikut ini adalah beberapa kombinasi kartu yang diakui pada Poker:
1. One Pair
Adalah kartu dengan komposisi satu pasangan. Misalnya, dua-hati dan dua-sekop. Ketiga kartu lainnya tidak membentuk apa- apa.
Adalah kartu dengan komposisi satu pasangan. Misalnya, dua-hati dan dua-sekop. Ketiga kartu lainnya tidak membentuk apa- apa.
2. Two Pair
Adalah kartu dengan komposisi dua pasangan. Misalnya, tiga-hati dan tiga-wajik, tujuh-keriting dan tujuh-wajik, dan satu kartu lainnya tidak membentuk apa-apa.
3. Three of a kind
Adalah kartu dengan komposisi tiga sejenis. Misalnya, As-hati, As-keriting, dan As- sekop. Kemudian, kedua kartu lainnya tidak membentuk apa-apa.
4. Five Straight
Adalah kartu dengan komposisi lima berurutan. Misalnya, Sepuluh, Jack, Queen, King, dan As. Setidaknya salah satu kartu harus berbeda bunga dengan yang lainnya.
5. Flush
Kelima kartu memiliki bunga yang sama, tetapi tidak berurutan.
6. Full House
Gabungan dari Three of a kind dengan One Pair. Tidak ada kartu yang tidak membentuk apa-apa (full).
7. Four of a kind
Empat sejenis. Misalnya, terdapat empat As. Satu kartu sisanya tidak membentuk apa-apa.
Empat sejenis. Misalnya, terdapat empat As. Satu kartu sisanya tidak membentuk apa-apa.
8. Straight Flush
Lima berurutan dan semuanya memiliki bunga yang sama. Misalnya, Sembilan-hati, Sepuluh-hati, Jack-hati, Queen-hati, dan King-hati.
9. Royal Flush
Seperti Straight Flush, tetapi khusus untuk urutan Sepuluh, Jack, Queen, King, dan As. Semuanya memiliki bunga yang sama.
a) Menentukan Kombinasi Kartu
Untuk memeriksa kombinasi kartu mana yang lebih tinggi dari kartu lainnya, dapat dilakukan perhitungan peluang secara matematis. Namun sebelum memulai, kita hitung terlebih dahulu berbagai kombinasi yang mungkin muncul jika terdapat lima kartu yang dibagikan. Kombinasi ini adalah semesta dari seluruh kombinasi lainnya.
1.Five Cards (Semesta)
Karena jumlah kartu adalah 52, maka perhitungannya menjadi sebagai berikut:
Karena jumlah kartu adalah 52, maka perhitungannya menjadi sebagai berikut:
52C5 = 52! / ( 47! 5! )= 2.598.960
Selanjutnya, kita dapat mulai menghitung untuk kombinasi-kombinasi kartu yang diakui dalam permainan Poker. Agar lebih mudah dalam membayangkan, Saya menggunakan gambaran berikut ini:
Sekop : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K As
Hati : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K As
Keriting : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K As
Wajik : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K As
2.One Pair
Untuk satu pasangan, kita bisa ambil 4C2, yaitu pengambilan dua kartu dari empat kartu tersedia (misalnya, kartu Jack). Karena ada 13 kemungkinan, berarti
4C2x13.
Untuk tiga kartu sisanya, sebut saja tiga kartu no pair, mungkin kita tergiur dengan menggunakan 48C3 karena mengambil tiga kartu dari 48 kemungkinan. Tetapi, tentu saja hal itu salah. Karena jika seandainya ketiga kartu itu berhubungan (misal, semuanya adalah As), maka bukan One Pair lagi namanya, melainkan Full House. Oleh karena itu, untuk tiga kartu no pair, digunakan 12C3, yaitu dari 12 jenis kartu yang tersisa (dari 2 sampai As, kecuali Jack) diambil tiga jenis kartu (Misalnya: 4, 7, dan 9). Dari 4, 7, dan 9 ini, terdapat 4^3 jenis kombinasi. Sehingga, untuk tiga kartu no pair, dapat diambil 12C3 x 4^3 .
Dengan demikian, jumlah kombinasi kartu untuk One Pair dapat dihitung sebagai berikut:
4C2 x 13 x 4C2x 4^3 = 1.098.240
Sehingga, peluang One Pair adalah: 1.098.240 : 2.598.960 Atau sekitar 1 :
2,3665
3.Two Pair
Untuk mengambil dua pasangan, digunakan 13C2, yaitu dua dari 13 kartu yang tersedia (Misalnya, Queen dan King). Masing- masing pasangan memiliki jumlah kemunculan 4C2. Dengan demikian, total jumlah kemunculan untuk dua pasangan adalah 13C2 x 4C2 x 4C2. Sementara, untuk satu kartu sisanya (kartu
no pair), berarti kita harus mengambil satu dari 44 sisa kartu, yaitu 44C1. Dengan demikian, jumlah kombinasi kartu yang mungkin untuk Two Pair dapat dihitung sebagai berikut:
13C2 x4C2 x 4C2 x 44C1 = 123.552
Sehingga, peluang Two Pair adalah: 123.552 : 2.598.960 Atau sekitar 1 :
21,04
4.Three of a kind
Untuk mengambil tiga kartu sejenis, digunakan 4C3, yaitu pengambilan tiga kartu dari empat kartu tersedia (misalnya, kartu Jack). Karena ada 13 kemungkinan, maka totalnya adalah 4C3 x 13. Sementara, untuk dua kartu nopair,
digunakan 12C2, yaitu dari 12 jenis kartu yang tersisa (dari 2 sampai As, kecuali
Jack) diambil dua jenis kartu (Misalnya: Queen dan As). Sementara, dari Queen
dan As ini, terdapat 4^2 jenis kombinasi. Sehingga, untuk dua kartu no pair, dapat diambil 12C2 x 4^2 Dengan demikian, jumlah kombinasi kartu yang mungkin untuk Three of a kind dapat dihitung sebagai berikut:
Jack) diambil dua jenis kartu (Misalnya: Queen dan As). Sementara, dari Queen
dan As ini, terdapat 4^2 jenis kombinasi. Sehingga, untuk dua kartu no pair, dapat diambil 12C2 x 4^2 Dengan demikian, jumlah kombinasi kartu yang mungkin untuk Three of a kind dapat dihitung sebagai berikut:
12C2 x 4^2
Sehingga, peluang Three of a kind adalah: 54.912 : 2.598.960 Atau sekitar 1 : 47,33
5. Five Straight
Untuk mendapatkan lima kartu berurutan, dapat berupa urutan-urutan berikut ini: 2-3-4-5-6, 3-4-5-6-7, 4-5-6-7-8, dan seterusnya sampai 10- J-Q-K-As. Seluruhnya terdapat sembilan jenis urutan. Masing-masing urutan memiliki jumlah kombinasi sebesar 4^5. Dikurangi dengan urutan yang seluruhnya memiliki kesamaan pada bunga (agar tidak terjadi Straight Flush), menjadi 4^5- 4. Dengan demikian, jumlah kombinasi kartu yang mungkin untuk Five Straight dapat dihitung sebagai berikut:
(4^5 - 4) x 9 = 9.180
Sehingga, peluang Five Straight adalah: 9.180 : 2.598.960 Atau sekitar 1 :
283,111
6.Flush
Untuk mendapatkan lima kartu yang sama bunga, berarti kita bisa mengambil lima kartu dari 13 kartu tersedia, yaitu 13C5. Dikurangi dengan sembilan kartu urutan (agar tidak terjadi Straight Flush), menjadi 13C5 - 9. Karena terdapat empat jenis bunga (Sekop, Hati, Keriting, dan Wajik), maka hasil tersebut dikalikan dengan empat. Dengan demikian, jumlah kombinasi kartu yang mungkin untuk Flush dapat
dihitung sebagai berikut:
(13C5 - 9) x 4 = 5.112
Sehingga, peluang Flush adalah: 5.112 : 2.598.960 Atau sekitar 1 : 508,404
7. Full House
Untuk mengambil tiga kartu sejenis, digunakan 4C3, yaitu pengambilan tiga kartu dari empat kartu tersedia (misalnya, kartu As). Karena ada 13 kemungkinan, maka totalnya adalah 4C3 x 13. Untuk satu pasangan, kita bisa ambil 4C2, yaitu pengambilan dua kartu dari empat kartu tersedia (misalnya, kartu Jack). Karena satu jenis kartu sudah diambil untuk tiga sejenis, maka tersisa 12 kemungkinan, berarti 4C2 x 2. Dengan demikian, jumlah kombinasi kartu yang mungkin untuk Full House dapat dihitung sebagai berikut:
4C3 x 13 x 4C2 = 3.744.
Sehingga, peluang Full House adalah: 3.744 : 2.598.960 Atau sekitar 1 : 694,167.
8. Four of a kind
Untuk mengambil empat kartu sejenis, digunakan 4C4, yaitu pengambilan empat kartu dari empat kartu tersedia. Karena ada 13 kemungkinan dan 4C4 adalah sama dengan satu, maka totalnya adalah 1 x 13. Untuk satu kartu no pair, berarti kita mengambil satu kartu dari 48 sisa kartu, yaitu : 48C1 = 48. Dengan demikian, jumlah kombinasi kartu yang mungkin untuk Four of a kind dapat dihitung sebagai berikut:
1 x 13 x 48 = 624
Sehingga, peluang Four of a kind adalah: 624 : 2.598.960 Atau sekitar 1 : 4.165
9. Straight Flush
Untuk mendapatkan lima kartu berurutan dan sama bunga, dapat berupa urutan-urutan berikut ini: 2-3-4-5-6, 3-4-5-6-7, 4-5-6-7-8, dan seterusnya sampai 9-10-J-Q-K. Seluruhnya terdapat delapan jenis urutan (10-J-Q-K-As tidak termasuk karena merupakan Royal Flush). Masing-masing urutan hanya memiliki satu jenis kombinasi karena bunganya harus sama. Karena terdapat empat bunga, maka totalnya menjadi 8x1x4. Dengan demikian, jumlah kombinasi kartu yang mungkin untuk Straight Flush dapat dihitung sebagai berikut:
8 x 1 x 4 = 32
Sehingga, peluang Straight Flush adalah 32: 2.598.960 Atau sekitar 1 : 81.217,5
10. Royal Flush
Menghitung Royal Flush adalah yang paling mudah. Jelas bahwa hanya terdapat empat kemungkinan untuk mendapat kan Royal Flush, yaitu 10-J-Q-K- As Sekop, 10-J-Q-K-As Hati, 10- J-Q-K-As Keriting, dan 10-J-Q-K-As Wajik. Dengan demikian, jumlah kombinasi kartu yang mungkin untuk Royal Flush adalah empat. Sehingga, peluang Royal Flush adalah: 4 : 2.598.960 Atau sekitar 1 : 649.740.
Untuk memeriksa benar atau tidaknya perhitungan yang sudah dilakukan, maka kita perlu menghitung terlebih dahulu kombinasi sisa, yaitu kombinasi yang tidak termasuk kesembilan kombinasi yang telah disebutkan. Kombinasi ini kita sebut saja sebagai kombinasi no pair karena nilainya paling rendah dan
tidak membentuk apa-apa.
11. Kombinasi no pair
Pada kombinasi no pair, tidak boleh terdapat sama angka (2-10) maupun gambar (J-Q-K-As). Tidak boleh kelimanya berurutan dan juga tidak boleh kelimanya memiliki bunga yang sama. Oleh karena itu, untuk menghitung jumlah kombinasi yang mungkin, kita bisa menggunakan 13C5, yaitu mengambil lima kartu dari 13 (2 sampai As) kartu tersedia. Karena masing-masing angka dan gambar memiliki empat macam bunga, maka kelima kartu yang diambil tersebut memiliki jumlah kombinasi 4^5. Sehingga, total kombinasi menjadi 13C5 x 4^5. Namun, Five Straight, Flush, Straight Flush, dan Royal Flush masih termasuk pada kombinasi ini. Oleh karena itu, jumlah kombinasi no pair adalah 13C5 dikurangi dengan keempat kombinasi yang baru saja disebutkan, sebagai berikut:
13C5 - (9180+5112+32+4) = 1.303.560
Sehingga, peluang kemunculan kombinasi no pair adalah 1.303.560 : 2.598.960 atau sekitar 1 : 1,99374.
Dengan demikian, setelah kita mengetahui berbagai peluang dari tiap-tiap kombinasi kartu dalam poker, kita bisa mengurutkan nilai kombinasi kartu tersebut dari yang tertinggi sampai terendah. Urutannya adalah :
1. Royal Flush ada 4 (kombinasi) 1 : 649.740 =1,53908 x 10^-6
2. Straight Flush ada 32 (kombinasi) 1 : 81.217,5 = 1,23126 x 10^-5
3. Four of a kind ada 624 (kombinasi) 1 : 4.165 = 0,000240096
4. Full House ada 3.744 (kombinasi) 1 : 694,167 = 0,001440576
5. Flush ada 5.112 (kombinasi) 1 : 508,404 = 0,001966941
6. Five Straight ada 9.180 (kombinasi) 1 : 283,111 = 0,003532182
7. Three of a kind ada 54.912 (kombinasi) 1 : 47,33 = 0,021128451
8. Two Pair ada 123.552 (kombinasi) 1 : 21,04 = 0,047539016
9. One Pair ada 1.098.240 (kombinasi) 1 : 2,3665 = 0,422569028
10. No pair ada 1.303.560 (kombinasi) 1 : 1,99374 0,501569859
TOTAL 2.598.960
Pada data diatas terlihat bahwa jumlah seluruh kombinasi yang ada adalah sebesar 2.598.960. Angka ini adalah angka yang sama dengan kombinasi semesta yang dihitung pada perhitungan awal (Five Cards). Selain itu, jumlah seluruh peluang dari tiap- tiap kombinasi adalah satu. Hal ini sesuai dengan teori peluang, dimana jumlah peluang tiap-tiap kejadian harus sama dengan satu. Berdasarkan kepada fakta tersebut, sementara ini, kita bisa menganggap bahwa perhitungan yang telah dilakukan sudah benar. Ternyata, peluang kemunculan beberapa kombinasi kartu dalam permainan Poker memiliki nilai yang relatif kecil. Kalau begitu, bagaimana mungkin seseorang dapat memperoleh kombinasi- kombinasi yang tinggi (seperti Full House dan lain- lainnya)? Salah satu rahasianya terletak pada jumlah permainan. Jangan dilupakan bahwa permainan Poker ini tidak hanya dilakukan sekali, melainkan berkali- kali. Jadi, jangan kaget jika setelah 695 kali putaran, Anda mendapat Full House pada saat kartu baru pertama dibagikan (belum ada penukaran kartu). Rahasia kedua terletak pada penukaran kartu. Ingat bahwamsetiap pemain memiliki satu kesempatan untuk menukar satu atau beberapa kartunya yang tidak membentuk apa-apa. Dengan peraturan seperti itu, peluang mendapatkan kartu bagus menjadi berlipat. Hal ini disebabkan oleh faktor subjektif pemain yang menahan kartu bagus dan membuang kartu yang tidak membentuk apa-apa. Dengan demikian, sebaran peluang sudah tidak acak (random) lagi. Peluangnya meningkat drastis. Perhitungan untuk hal ini agak sulit dan memakan waktu yang cukup lama karena selain bergantung kepada kartu yang pertama kali didapatkan, perhitungannya juga bergantung kepada jumlah
pemain.
0 komentar:
Posting Komentar